SECCIONES CÓNICAS "LA ELIPSE"
La elipse es un lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es constante
d PF + dPF' = 2a
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
FOCOS: Son los puntos F y F'
EJE MAYOR: Es la cuerda que pasa por los focos y tiene sus puntos finales en la elipse (Segmento AA' de longitud 2a, a es el semieje mayor)
EJE MENOR: Es la cuerda que pasa por el centro, perpendicular al eje focal y tiene sus puntos finales en la elipse (segmento BB' de longitud 2b, b es el semieje menor)
CENTRO: Es el punto de intersección entre los dos ejes
RADIO VECTORES: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos (PF y PF')
DISTANCIA FOCAL. Es la distancia FF', de longitud 2c, c es la semi distancia focal
EJES DE SIMETRIA: Son las rectas que contienen al eje menor o al eje mayor
EXCENTRICIDAD: Es igual al cociente entre la semidistancia focal y el smieje mayor e = c/a con e menor o igual que a, 0
RELACIÓN ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES
a2 = b2 + c2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN:
Cuando el eje mayor está en el eje de las x
Cuando el eje mayor está en el eje de las y
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Halle la ecuación de la elipse cuyo centro está en el punto (0,0), un intercepto del eje x con la gráfica es (5 , 0) y las coordenadas de los focos son F(3 , 0) y F'(-3 , 0)
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,b2 = 52 - 32, b2 = 16 y por tanto b = +4 ó b = -4
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos:
V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4).
Además, como a = 5 y está sobre el eje x y b = 4 sobre el eje y, su ecuación viene dada por:
Esta es su gráfica
2. Determinar los semiejes de la elipse, las coordenadas de los focos los vértices y traza la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 9y2 = 225
Solución:
La ecuación: 25x2 + 9y2 = 225, puede escribirse en las formas equivalentes:
x 2 + y2 = 1
9 25
x 2 + y2 = 1
32 52
La ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es a = 5 está sobre el eje y y el eje menor es b = 2 sobre el eje x. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado, c2 = 25 – 9 = 16, de donde c = 4 ó c = -4 por lo tanto, los focos se encuentran localizados en los puntos
F(0 , 4) y F’(0 , -4)
Además, los vértices de la elipse son los puntos:
V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).
La figura ilustra toda la información obtenida.
Haz clac en el siguiente vínculo para ver la presentación
Haz clic en el sigiente vínculo para ver la tarea propuesta
RELACIÓN ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES
a2 = b2 + c2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN:
Cuando el eje mayor está en el eje de las x
Cuando el eje mayor está en el eje de las y
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Halle la ecuación de la elipse cuyo centro está en el punto (0,0), un intercepto del eje x con la gráfica es (5 , 0) y las coordenadas de los focos son F(3 , 0) y F'(-3 , 0)
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,b2 = 52 - 32, b2 = 16 y por tanto b = +4 ó b = -4
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos:
V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4).
Además, como a = 5 y está sobre el eje x y b = 4 sobre el eje y, su ecuación viene dada por:
Esta es su gráfica
2. Determinar los semiejes de la elipse, las coordenadas de los focos los vértices y traza la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 9y2 = 225
Solución:
La ecuación: 25x2 + 9y2 = 225, puede escribirse en las formas equivalentes:
x 2 + y2 = 1
9 25
x 2 + y2 = 1
32 52
La ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es a = 5 está sobre el eje y y el eje menor es b = 2 sobre el eje x. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado, c2 = 25 – 9 = 16, de donde c = 4 ó c = -4 por lo tanto, los focos se encuentran localizados en los puntos
F(0 , 4) y F’(0 , -4)
Además, los vértices de la elipse son los puntos:
V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).
La figura ilustra toda la información obtenida.
Haz clac en el siguiente vínculo para ver la presentación
Haz clic en el sigiente vínculo para ver la tarea propuesta
TAREA SOBRE LA ELIPSE.doc (31,5 kB)